No primeiro vídeo contamos a história do algoritmo.
No segundo vídeo explicamos como encontrar o MDC pelo Algoritmo de Euclides.
O terceiro vídeo faz uma ilustração geométrica do algoritmo e mostra uma maneira diferente de determinar o MDC pelo Algoritmo de Euclides: geometricamente.
Nos 3 últimos vídeos resolvemos atividades que requerem a determinação do MDC, para que você, leitor do Blogue Álgebrakadabra, veja a aplicação do Algoritmo de Euclides.
Também sugerimos algumas atividades para que você possa fixar o assunto estudado e deixamos desafios sobre o tema, esperançosos por vermos a tua resolução. Por fim, a nível de curiosidade, deixamos uma descoberta matemática que relaciona MDC com MMC.
Bons estudos e caso tenha dúvida, não se esqueça: estamos à disposição.
HISTÓRIA DO ALGORITMO DE EUCLIDES
Vale a pena saber um pouco sobre tudo isso. Então nos acompanhe!
ALGORITMO DE EUCLIDES
De maneira simples e fácil, determinamos a seguir o MDC entre dois números (tomados como exemplo, o 32 e o 14), para que você também tente na sua casa, no trabalho ou na escola, determiná-lo com quaisquer dois números à sua escolha.
Veja tudo isto a seguir!
Veja tudo isto a seguir!
ILUSTRAÇÃO GEOMÉTRICA DO ALGORITMO DE EUCLIDES
Ilustração Geométrica?!?! Exatamente! O Algoritmo de Euclides de maneira interessantemente diferente. Vamos determinar o MDC entre dois números (tomando o 32 e o 14 novamente) geometricamente.
Confira abaixo!
Confira abaixo!
Agora vamos praticar um pouco! Resolvemos as seguintes atividades utilizando o Algoritmo de Euclides e queremos você a nos ajudar.
É logo a seguir, vamos lá?!
É logo a seguir, vamos lá?!
ATIVIDADE 1
ATIVIDADE 2
ATIVIDADE 3
ATIVIDADES PROPOSTAS
Obs.: Por favor nos envie ou simplesmente nos indique a sua resposta para que possamos interagir aumentando o nosso ambiente de aprendizagem e partilha de conhecimentos.
1) Determine o m.d.c.
a) m.d.c (9,12)
b) m.d.c.(8,20)
c) m.d.c.(10,15)
d) m.d.c.(9,12)
e) m.d.c.(10,20)
f) m.d.c.( 15,20)
g) m.d.c.(48,18)
h) m.d.c.(30,18)
i) m.d.c.(60,36)
j) m.d.c.(30,15)
l) m.d.c.(80,48)
2) (Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de?
3) (Revista Educação e Matemática) Na tabela seguinte encontras na coluna 1 a lista de pares de números construída a partir do par 30 e 54 e na coluna 2 as correspondentes diferenças entre os números dos diferentes pares. Sendo a divisão inteira entendível como subtração sucessiva com o mesmo subtrativo, completa devidamente as colunas 3 e 4 :
Acabas de determinar o m.d.c. (30, 54) por dois processos: o processo das Subtrações recíprocas (colunas 1 e 2) e o chamado Algoritmo de Euclides, que é um processo condensado do anterior (coluna 3). O m.d.c. (30, 54) é 6, identificável no processo das subtrações recíprocas por qualquer um dos termos do par de números iguais a que chegámos e no algoritmo de Euclides pelo último divisor.
Nota: No algoritmo de Euclides ao dividirmos 24 por 6 obtivemos quociente 4 e resto zero, isto é, subtraímos 6 quatro vezes a 24 enquanto que na subtração recíproca subtraímos 6 apenas três vezes a 24 mas ficamos com resto 6, logo podemos voltar a subtrair 6 até obter resto zero. Os gregos não levavam o processo até ao fim, ficando no par de números iguais (6, 6) porque não tinham símbolo para o zero.
4) (Revista Educação e Matemática) Constrói o retângulo 12 x 32 e determina pelo processo utilizado na atividade 3 o m.d.c. (12, 32)
5) (Revista Educação e Matemática - modificado) Na figura junta está representado um retângulo de 30 x 54.
5.1 Ao lado maior deste retângulo, tira o lado menor tantas vezes quantas as possíveis. Deves obter um novo retângulo cujas dimensões são:
— O menor dos dois números dados;
— O resto obtido quando efetuamos as subtrações sucessivas possíveis.
Este processo é equivalente a tirarmos ao retângulo dado o maior quadrado nele contido tantas vezes quantas as possíveis.
5.2. Sobre o novo retângulo obtido, efetua o procedimento anterior, isto é, tira-lhe o maior quadrado nele contido tantas vezes quantas as possíveis.
5.3. Repete o passo 3. 2. até esgotares o retângulo inicial.
O lado do último quadrado retirado é a maior medida comum dos dois lados do retângulo inicial, ou seja, o m.d.c. dos dois números.
DESAFIOS
1) (CMF-CE) Duas estradas se encontram formando um T e têm 2940 metros e 1680 metros, respetivamente, de extensão. O ponto de encontro divide a estrada menor em duas partes iguais. Pretende-se colocar postes de alta tensão ao longo das estradas, de modo que exista um poste em cada extremidade do trecho considerado e um poste no encontro das duas estradas. Exige-se que a distância entre cada dois postes seja a mesma e a maior possível. A quantidade de postes a serem utilizados é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
2) Um empreiteiro deseja construir um prédio em um terreno retangular de dimensões 216m por 414m. Para isso, deverá cercá-lo com estacas. Se ele colocar uma estava em cada canto de terreno e utilizar sempre a mesma distância entre duas estacas consecutivas, qual será a quantidade mínima de estacas a serem utilizadas?
3) Qual o m.d.c. entre 987.656.321.972 e 987.654.321.976?
4) (Curso de Formação de Sargentos) Ao calcular o m.d.c. entre os números A e B, pelo algoritmo de Euclides (divisões sucessivas), obteve-se:
a) A – B = 27
b) A – B = 47
c) A – B = 55
d) A – B = 33
e) A – B = 77
VOCÊ SABIA?
Esperamos que consiga realizar ótimos estudos!
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